Sifat - Sifat Gradien

Ada beberapa sifat gradien yang perlu diketahui, di antaranya adalah gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x, gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y, gradien dua garis yang sejajar, dan gradien dua garis yang saling tegak lurus. Berikut ini akan diuraikan sifat-sifat gradien tersebut.

Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-x
Perhatikan gambar berikut!

Pada gambar di atas terdapat 2 garis yang sejajar dengan sumbu-x, yaitu garis-garis k dan l. Garis k melalui titik-titik dengan koordinat (–2, 2) dan (3, 2), sedangkan garis l melalui titik-titik yang berkoordinat di (–1, –3) dan (2, –3). Sehingga, gradien dari kedua garis tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Dari perhitungan tersebut, kita memperoleh bahwa gradien dari garis-garis k dan l, yaitu garis-garis yang sejajar dengan sumbu-x, nilainya adalah 0. Apa yang dapat kita simpulkan dari kedua garis tersebut?

Gradien dari garis yang sejajar dengan sumbu-x adalah 0.

Sehingga garis-garis yang memiliki persamaan y = –15, y = 4, dan y = 7 memiliki gradien yang nilainya 0. Demikian juga dengan garis y = 0, yaitu garis yang berimpit dengan sumbu-x, juga memiliki gradien 0.
Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-y
Selanjutnya kita tentukan besar gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y. Perhatikan gambar berikut!

Dua garis pada gambar di atas merupakan garis-garis yang sejajar dengan sumbu-y. Garis pertama melalui titik-titik yang berkoordinat di (–1, 4) dan (–1, –2), sedangkan garis kedua melalui titik-titik yang memiliki koordinat di (2, 2) dan (2, –3). Sehingga gradien dari kedua garis tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Dari perhitungan di atas kita dapat memperoleh bahwa gradien garis pertama, yaitu garis yang melalui titik-titik dengan koodinat (–1, 4) dan (–1, –2), adalah tidak terdefinisi. Demikian juga dengan garis kedua. Dari gradien kedua garis ini, apa yang dapat kita simpulkan?

Gradien dari garis yang sejajar dengan sumbu-y adalah tidak terdefinisi.

Sehingga, garis-garis yang sejajar dengan sumbu-y, seperti garis-garis x = –10, x = 7, dan x = 12, memiliki gradien yang tidak terdefinisi. Demikian juga dengan garis yang berimpit dengan sumbu-y, yaitu garis x = 0, memiliki gradien yang tidak terdefinisi.
Gradien Dua Garis yang Sejajar
Setelah pada dua pembahasan sebelumnya kita membahas gradien dari garis, sekarang kita akan membahas mengenai hubungan antara gradien dua garis yang saling sejajar. Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas, kita dapat melihat bahwa garis m sejajar dengan garis n, dan garis g sejajar dengan garis h. Untuk menentukan hubungan dari gradien garis-garis yang sejajar, kita tentukan gradien dari masing-masing garis tersebut.
Garis m melalui titik-titik yang berkoordinat di (2, 1) dan (–1, 4). Sedangkan garis n melalui dua titik dengan koordinat (–1, 1) dan (–3, 3). Sehingga gradien dari dua garis tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Garis g melalui dua titik dengan koordinat (–2, –2) dan (–1, 1), sedangkan garis h melalui titik-titik (2, 1) dan (3, 4). Sehingga gradien dari kedua garis tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Dari perhitungan di atas, kita memperoleh bahwa m_m = –1 = m_n dan m_g = 3 = m_h. Padahal dua garis m dan n merupakan pasangan garis yang sejajar. Begitu juga dengan dua garis g dan h. Dari sini, apa yang dapat kita simpulkan?

Garis-garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.

Sehingga, garis-garis yang memiliki persamaan y = 2x dan 6x – 3y + 10 = 0 merupakan pasangan garis yang sejajar. Begitu juga dengan garis y = –x – 1 dan garis 5x + 5y – 11 = 0.
Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus
Garis-garis yang saling sejajar memiliki gradien yang sama, lalu bagaimana dengan garis-garis yang saling tegak lurus. Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas kita dapat melihat bahwa garis a tegak lurus dengan garis b, sedangkan garis p tegak lurus dengan garis q. Garis a melalui dua titik yang berkoordinat di (–1, 3) dan (–4, –3), sedangkan garis b melalui dua titik (–1, –3) dan (1, –4). Sehingga gradien dari dua garis a dan b dapat ditentukan sebagai berikut.

Garis p melalui dua titik (3, 0) dan (–1, 3) sedangkan garis q melalui dua titik (2, 2) dan (–1, –2). Sehingga gradien dari garis p dan q dapat ditentukan sebagai berikut.

Dari perhitungan di atas, kita dapat mengamati bahwa gradien dari dua garis yang saling tegak lurus selalu berlawanan tanda. Selain itu, gradien dari dua garis yang saling tegak lurus selalu berkebalikan. Apa yang dapat kita simpulkan mengenai gradien dua garis yang saling tegak lurus?

Gradien dari dua garis yang saling tegak lurus selalu berlawan tanda dan berkebalikan. Atau dengan kata lain, hasil kali gradien dari dua garis yang saling tegak lurus sama dengan negatif satu.

Kita dapat menguji kalimat terakhir dari kesimpulan tersebut. Hasil kali gradien garis a dan b adalah, 2 × –1/2 = –1. Begitu juga dengan hasil kali gradien garis p dan q, –3/4 × 4/3 = –1.